Contribution programmes
Mathématiques au primaire : Roland Charnay
22 septembre 2013
  (1 vote)

Roland Charnay, chercheur en didactique des mathématiques et responsable scientifique de la plateforme « Télé formation mathématiques » esquisse les grandes lignes d’un "programme raisonnable" pour les mathématiques au primaire.

Le cadre et les conditions dans lesquels un programme est élaboré en déterminent fortement la pertinence, comme le montrent les exemples récents des programmes 2002 et 2008.

Le programme actuel de mathématiques, publié en 2008

La critique de ce programme a été largement faite à sa sortie et a été confortée les années suivantes. Élaboré de façon clandestine, il est à la fois archaïque, inadapté du point de vue des enjeux, trop lourd et mal ciblé quant aux contenus proposés.
- archaïque par la référence faite par ses défenseurs à un supposé âge d’or des années cinquante, sans prendre en compte ni les évolutions de la société, ni les informations apportées par les enquêtes nationales ou internationales, ni les apports de la recherche et l’expérience des enseignants.
- inadapté du point de vue des enjeux car marqué par un affaiblissement de la dimension culturelle des apprentissages mathématiques qui suppose un investissement des élèves où la recherche et l’expérimentation contribuent à façonner une pensée à la fois curieuse et rigoureuse et accompagnent la nécessaire structuration des connaissances et leur mémorisation. L’apprentissage de règles ou de techniques non soutenues par la compréhension et reléguant la résolution de problèmes au rang d’application de ces techniques est stérile et contre productif…
- trop lourd et mal ciblé quant aux contenus proposés, ce programme est marqué par un empilement de connaissances trop nombreuses et souvent exigées prématurément, ce qui rend plus difficile l’assimilation des connaissances les plus essentielles.

Quelques orientations pour un programme raisonnable.

- Un programme raisonnable se doit d’être ambitieux, mais l’ambition ne se caractérise pas par le volume des connaissances et des compétences à maîtriser. Il identifie les savoirs fondamentaux, ceux dont une bonne maîtrise, "en profondeur", est indispensable à l’acquisition d’autres savoirs. Pour les mathématiques, on peut en donner trois exemples en se limitant ici au domaine numérique.
Avec les très jeunes enfants, l’école maternelle doit conduire à une conception du nombre comme outil pour exprimer des quantités en mobilisant différents moyens de dénombrement (qui ne sont pas limités au comptage de un en un) et pour exprimer un rang dans une suite ordonnée. De cette conception du nombre dépendront en effet les procédures de calcul que les élèves pourront envisager et la mémorisation de certains résultats.
La compréhension en profondeur de notre système positionnel et décimal d’écriture des nombres en chiffres (des nombres entiers d’abord puis des nombres décimaux) est un autre de ces savoirs fondamentaux. De cette compréhension dépendront la compréhension et la maîtrise de la manière dont est organisée la suite des nombres, celle des procédures de comparaison des nombres, celle des techniques de calcul posé, celle des procédures de calcul mental, celle de la multiplication d’un nombre par 10, 100…, celle du système métrique…
La nécessité d’une bonne aisance en calcul mental (sous le double aspect de la mémorisation et du calcul raisonné) est soulignée par différentes études. Elle conditionne évidemment les compétences en calcul posé (et on sait combien il est néfaste d’inverser les priorités dans ce domaine), mais elle influence aussi la capacité à résoudre des problèmes aussi bien dans le choix des calculs à réaliser que dans leur exécution (le travail sur la proportionnalité en est un exemple).

On peut attendre d’un programme raisonnable qu’il précise une organisation et une hiérarchie des savoirs à enseigner, en identifiant les plus fondamentaux.

- Un programme raisonnable est un programme qui tient compte des études disponibles et de l’expérience des enseignants.
On sait par exemple qu’une proportion importante d’élèves (de l’ordre de 20 %) ne maîtrise pas les compétences dites "de base" au sortir de l’école primaire. On n’améliorera pas cette situation en augmentant le volume des connaissances à acquérir. Au contraire, il faut privilégier celles à côté desquelles on ne peut pas passer sans risquer de perdre pied (voir point précédent).
Les enquêtes internationales soulignent que, à 15 ans, les élèves français sont trop scolaires et, souvent, timorés. Ils ont du mal face à des situations qui demandent autonomie, initiative et originalité. Ils savent reproduire, mais pas inventer… Ils ont peur de se tromper et d’être évalués. En réduisant la part faite aux activités relevant de l’imagination, de la résolution de problèmes… en reléguant la résolution de problèmes au rang d’application de techniques on va à l’encontre de capacités aujourd’hui essentielles. Le programme doit tenir compte de ce constat. Il doit redonner une place centrale à la résolution de problèmes, à la fois comme moteur dans l’élaboration de nouvelles connaissances, dans la mobilisation des connaissances acquises et dans l’apprentissage nécessaire de stratégies d’approche des problèmes (faire des essais et les organiser, faire des hypothèses (on parle en mathématiques de conjectures), faire des déductions, partir des données ou partir de la question pour déterminer des étapes de résolution…). Cela n’est possible que si on dispose de temps, si on n’est pas stressé à l’idée de se tromper, si le contrôle n’attend pas l’élève “au premier tournant”
D’expérience, les enseignants savent qu’il est illusoire de vouloir faire apprendre une technique de calcul posé de la soustraction au CE1 avec un minimum de compréhension. Il suffit d’ailleurs d’analyser les acquis préalables nécessaires pour comprendre ce fait. Au CE2, cela devient plus raisonnable. Cet exemple souligne qu’il faut aussi faire confiance à l’expérience des enseignants pour éviter certaines chausse-trappes. En sachant également que, mises en place prématurément et de façon purement mécanique, les techniques de calcul posé risquent de devenir des obstacles au développement de stratégies de calcul mental dont le caractère primordial a été souligné.

- Un programme raisonnable est un programme qui prend en compte le fait que les connaissances et les compétences s’apprennent sur une durée marquée par des enrichissements de sens et parfois par des ruptures.
Un exemple suffit à le montrer. « Quand faut-il introduire la division ? » est une question souvent posée. Si la question a l’apparence de la simplicité, la réponse, elle, est d’une grande complexité. Dès la fin de l’école maternelle, les élèves peuvent résoudre des problèmes simples de partage (6 images sont à répartir – équitablement — dans 3 enveloppes montrées. Combien faut-il en mettre dans chaque enveloppe ?). L’opération division sera formalisée bien plus tard et il faudra des situations didactiques appropriées pour que les élèves comprennent que cette opération permet de traiter aussi bien des problèmes de partage équitable (où on cherche la valeur de chaque part) que des problèmes de groupements réguliers (où on cherche le nombre de parts égales). Et, compte tenu de sa complexité, il n’est guère envisageable d’enseigner une technique de calcul posé de cette opération (avec la potence) avant le CM1. Quant à la division portant sur des nombres décimaux, il faudra sans doute attendre le collège.

On pourrait évoquer également ce qu’on a coutume d’appeler "le sens" de la soustraction qui en réalité revêt plusieurs aspects puisque cette opération permet de calculer un reste après une diminution, une valeur avant son augmentation, un complément, une distance ou une durée, un écart entre deux valeurs, etc. Même si les élèves connaissent le signe de la soustraction et disposent de techniques de calcul, ils ne deviennent pas pour autant capables de traiter cette variété de problèmes. Là encore, des étapes et un enseignement organisé sont nécessaires.

Sur tous ces points, le programme devrait fournir aux enseignants les repères utiles à la conception d’un enseignement qui va au-delà de l’année scolaire, au-delà d’un cycle et même au-delà de l’école primaire…

- Un programme raisonnable n’est pas nécessairement court dans son énoncé.
On entend souvent dire que le texte du programme doit être simple et court. Le risque est alors d’avoir un programme limité à des têtes de chapitres ou des listes de compétences pour lesquelles n’apparaissent ni l’organisation, ni l’importance des unes par rapport aux autres, l’essentiel et l’accessoire s’y trouvant énoncés de la même manière. Un intitulé du type "Résoudre des problèmes relevant des 4 opérations" ne dit rien des catégories de problèmes qui peuvent être résolus à un moment donné de la scolarité à l’aide des concepts étudiés ni des stratégies de résolution qu’on souhaite voir maîtrisées par les élèves. On pourrait, dans cette direction, s’inspirer de l’expérience des programmes de 2002 qui, à côté du programme lui-même, proposaient des documents d’application qui délimitaient plus précisément les exigences et des documents d’accompagnement qui proposaient des perspectives de mise en œuvre.

Pour conclure

Dès l’école primaire un enjeu de l’enseignement des mathématiques est de former des individus qui peuvent affronter des situations diverses et parfois nouvelles, en mobilisant des concepts, des résultats, des techniques et des outils (incluant l’apport des nouvelles technologies) qu’ils maîtrisent parce qu’ils les ont compris et en faisant appel aux capacités d’initiative et de réflexion que l’école les a aidés à développer.